Regularized recursive Newton-type methods for inverse scattering problems using multifrequency measurements

We are concerned with the reconstruction of a sound-soft obstacle using far field measurements of scattered waves associated with incident plane waves sent from one incident direction but at multiple frequencies. We define, at each frequency, observable shapes as the ones which are described by finitely many modes and produce far field patterns close to the measured one. Our analysis consists of two steps. In the first step, we propose a regularized recursive Newton method for the reconstruction of an observable shape at the highest frequency knowing an estimate of an observable shape at the lowest frequency. We formulate conditions under which an error estimate in terms of the frequency step, the number of Newton iterations, and noise level can be proved. In the second step, we design a multilevel Newton method which has the same accuracy as the one described in the first step but with weaker assumptions on the quality of the estimate of the observable shape at the lowest frequency and a small frequency step (or a large number of Newton iterations). The performances of the proposed algorithms are illustrated with numerical results using simulated data. Résumé. On s’intéresse à la reconstruction d’un obstacle de type Dirichlet (sound-soft) en utilisant, comme mesures, les champs lointains des ondes acoustiques diffusées correspondant à des ondes planes envoyées à partir d’une seule direction mais à de multiple fréquences. On définit, pour chaque fréquence, des formes observables comme celles qui sont écrites sous formes de combinaisants finies de modes propres et qui générent des champs lointains proches de ceux qui sont mesurés. L’analyse est faite en deux étapes. Comme première étape, nous proposons une méthode récursive, de type Newton régularisé, pour reconstruire une forme observable correspondant à la plus grande fréquence en connaissant une forme observable correspondant à la plus petite fréquence. Nous donnons des conditions, en fonction du pas de frequence, du nombre d’itérations et de la taille du bruit qui entache les mesures, sous lesquelles une estimation d’erreur est justifiée. Comme seconde étape, nous décrivons une méthode de Newton à multiple niveaux qui conserve la même précision que la méthode proposée en première étape mais qui nécessite des conditions moins restrictives quant à la qualité de l’estimation de la forme observable à la plus petite fréquence et un petit pas de fréquence utilisé (ou un grand nombre d’itérations). Ces deux algorithmes sont testés et validés numériquement en utilisant des champs lointains simulés. 1991 Mathematics Subject Classification. 35R30, 65N21, 78A46.